Álgebra lineal Ejemplos

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Paso 1

Obtén los valores propios.

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Paso 1.1

Establece la fórmula para obtener la ecuación característica $p (λ)$ .

$p (λ) = determinante (A - λ I_{4})$

Paso 1.2

La matriz de identidades o matriz unidad de tamaño $4$ es la matriz cuadrada $4 \times 4$ con unos en la diagonal principal y ceros en los otros lugares.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Paso 1.3

Sustituye los valores conocidos en $p (λ) = determinante (A - λ I_{4})$ .

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Paso 1.3.1

Sustituye $[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$ por $A$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] - λ I_{4})$

Paso 1.3.2

Sustituye $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$ por $I_{4}$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Paso 1.4

Simplifica.

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Paso 1.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.1.1

Multiplica $- λ$ por cada elemento de la matriz.

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2

Simplifica cada elemento de la matriz.

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Paso 1.4.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.2

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 1.4.1.2.2.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.2.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.3

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 1.4.1.2.3.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.3.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.4

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 1.4.1.2.4.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.4.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.5

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 1.4.1.2.5.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.5.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.6

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.7

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 1.4.1.2.7.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.7.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.8

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 1.4.1.2.8.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.8.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.9

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 1.4.1.2.9.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.9.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.10

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 1.4.1.2.10.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.10.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.11

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.12

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 1.4.1.2.12.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.12.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.13

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 1.4.1.2.13.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.13.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.14

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 1.4.1.2.14.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.14.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.15

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 1.4.1.2.15.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.15.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.16

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Paso 1.4.2

Suma los elementos correspondientes.

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 + 0 & - 5 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 - λ & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Paso 1.4.3

Simplify each element.

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Paso 1.4.3.1

Suma $0$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & - 5 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 - λ & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Paso 1.4.3.2

Suma $- 5$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & - 5 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 - λ & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Paso 1.4.3.3

Suma $0$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & - 5 & 0 \\ 0 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 - λ & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Paso 1.4.3.4

Suma $0$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 - λ & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Paso 1.4.3.5

Suma $0$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 - λ & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Paso 1.4.3.6

Suma $0$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 - λ & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Paso 1.4.3.7

Suma $0$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 + 0 & 0 - λ & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Paso 1.4.3.8

Suma $0$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 - λ & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Paso 1.4.3.9

Resta $λ$ de $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Paso 1.4.3.10

Suma $1$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 1 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Paso 1.4.3.11

Suma $0$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 1 \\ 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Paso 1.4.3.12

Suma $0$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 1 \\ 0 & 0 & 0 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Paso 1.4.3.13

Suma $0$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 - λ \end{array}]$

Paso 1.4.3.14

Resta $λ$ de $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 1 \\ 0 & 0 & 0 & - λ \end{array}]$

Paso 1.5

Find the determinant.

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Paso 1.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $1$ by its cofactor and add.

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Paso 1.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + & - \\ - & + & - & + \\ + & - & + & - \\ - & + & - & + \end{array} |$

Paso 1.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Paso 1.5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 1 \\ 0 & 0 & - λ \end{array} |$

Paso 1.5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(1 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 1 \\ 0 & 0 & - λ \end{array} |$

Paso 1.5.1.5

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & - 5 & 0 \\ 0 & - λ & 1 \\ 0 & 0 & - λ \end{array} |$

Paso 1.5.1.6

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 0 & - 5 & 0 \\ 0 & - λ & 1 \\ 0 & 0 & - λ \end{array} |$

Paso 1.5.1.7

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & - 5 & 0 \\ 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array} |$

Paso 1.5.1.8

Multiply element $a_{31}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 0 & - 5 & 0 \\ 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array} |$

Paso 1.5.1.9

The minor for $a_{41}$ is the determinant with row $4$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & - 5 & 0 \\ 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 1 \end{array} |$

Paso 1.5.1.10

Multiply element $a_{41}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 0 & - 5 & 0 \\ 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 1 \end{array} |$

Paso 1.5.1.11

Add the terms together.

$p (λ) = (1 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 1 \\ 0 & 0 & - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & - 5 & 0 \\ 0 & - λ & 1 \\ 0 & 0 & - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & - 5 & 0 \\ 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & - 5 & 0 \\ 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 1 \end{array} |$

Paso 1.5.2

Multiplica $0$ por $| \begin{array}{c} 0 & - 5 & 0 \\ 0 & - λ & 1 \\ 0 & 0 & - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = (1 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 1 \\ 0 & 0 & - λ \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} 0 & - 5 & 0 \\ 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & - 5 & 0 \\ 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 1 \end{array} |$

Paso 1.5.3

Multiplica $0$ por $| \begin{array}{c} 0 & - 5 & 0 \\ 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = (1 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 1 \\ 0 & 0 & - λ \end{array} | + 0 + 0 + 0 | \begin{array}{c} 0 & - 5 & 0 \\ 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 1 \end{array} |$

Paso 1.5.4

Multiplica $0$ por $| \begin{array}{c} 0 & - 5 & 0 \\ 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 1 \end{array} |$ .

$p (λ) = (1 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 1 \\ 0 & 0 & - λ \end{array} | + 0 + 0 + 0$

Paso 1.5.5

Evalúa $| \begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 1 \\ 0 & 0 & - λ \end{array} |$ .

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Paso 1.5.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Paso 1.5.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Paso 1.5.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Paso 1.5.5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - λ & 1 \\ 0 & - λ \end{array} |$

Paso 1.5.5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(1 - λ) | \begin{array}{c} - λ & 1 \\ 0 & - λ \end{array} |$

Paso 1.5.5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 0 & - λ \end{array} |$

Paso 1.5.5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 0 & - λ \end{array} |$

Paso 1.5.5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & - λ \\ 0 & 0 \end{array} |$

Paso 1.5.5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 0 & - λ \\ 0 & 0 \end{array} |$

Paso 1.5.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) | \begin{array}{c} - λ & 1 \\ 0 & - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 0 & - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & - λ \\ 0 & 0 \end{array} |) + 0 + 0 + 0$

Paso 1.5.5.2

Multiplica $0$ por $| \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 0 & - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) | \begin{array}{c} - λ & 1 \\ 0 & - λ \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} 0 & - λ \\ 0 & 0 \end{array} |) + 0 + 0 + 0$

Paso 1.5.5.3

Multiplica $0$ por $| \begin{array}{c} 0 & - λ \\ 0 & 0 \end{array} |$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) | \begin{array}{c} - λ & 1 \\ 0 & - λ \end{array} | + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Paso 1.5.5.4

Evalúa $| \begin{array}{c} - λ & 1 \\ 0 & - λ \end{array} |$ .

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Paso 1.5.5.4.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) (- λ (- λ) + 0 \cdot 1) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Paso 1.5.5.4.2

Simplifica el determinante.

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Paso 1.5.5.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.5.4.2.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) (- 1 \cdot - 1 λ \cdot λ + 0 \cdot 1) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Paso 1.5.5.4.2.1.2

Multiplica $λ$ por $λ$ sumando los exponentes.

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Paso 1.5.5.4.2.1.2.1

Mueve $λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) (- 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) + 0 \cdot 1) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Paso 1.5.5.4.2.1.2.2

Multiplica $λ$ por $λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) (- 1 \cdot - 1 λ^{2} + 0 \cdot 1) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Paso 1.5.5.4.2.1.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) (1 λ^{2} + 0 \cdot 1) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Paso 1.5.5.4.2.1.4

Multiplica $λ^{2}$ por $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) (λ^{2} + 0 \cdot 1) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Paso 1.5.5.4.2.1.5

Multiplica $0$ por $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) (λ^{2} + 0) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Paso 1.5.5.4.2.2

Suma $λ^{2}$ y $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) λ^{2} + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Paso 1.5.5.5

Simplifica el determinante.

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Paso 1.5.5.5.1

Combina los términos opuestos en $(1 - λ) λ^{2} + 0 + 0$ .

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Paso 1.5.5.5.1.1

Suma $(1 - λ) λ^{2}$ y $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) λ^{2} + 0) + 0 + 0 + 0$

Paso 1.5.5.5.1.2

Suma $(1 - λ) λ^{2}$ y $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((1 - λ) λ^{2}) + 0 + 0 + 0$

Paso 1.5.5.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = (1 - λ) (1 λ^{2} - λ \cdot λ^{2}) + 0 + 0 + 0$

Paso 1.5.5.5.3

Multiplica $λ^{2}$ por $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - λ \cdot λ^{2}) + 0 + 0 + 0$

Paso 1.5.5.5.4

Multiplica $λ$ por $λ^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.5.5.5.4.1

Mueve $λ^{2}$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - (λ^{2} λ)) + 0 + 0 + 0$

Paso 1.5.5.5.4.2

Multiplica $λ^{2}$ por $λ$ .

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Paso 1.5.5.5.4.2.1

Eleva $λ$ a la potencia de $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - (λ^{2} λ^{1})) + 0 + 0 + 0$

Paso 1.5.5.5.4.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - λ^{2 + 1}) + 0 + 0 + 0$

Paso 1.5.5.5.4.3

Suma $2$ y $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - λ^{3}) + 0 + 0 + 0$

Paso 1.5.5.5.5

Reordena $λ^{2}$ y $- λ^{3}$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + λ^{2}) + 0 + 0 + 0$

Paso 1.5.6

Simplifica el determinante.

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Paso 1.5.6.1

Combina los términos opuestos en $(1 - λ) (- λ^{3} + λ^{2}) + 0 + 0 + 0$ .

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Paso 1.5.6.1.1

Suma $(1 - λ) (- λ^{3} + λ^{2})$ y $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + λ^{2}) + 0 + 0$

Paso 1.5.6.1.2

Suma $(1 - λ) (- λ^{3} + λ^{2})$ y $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + λ^{2}) + 0$

Paso 1.5.6.1.3

Suma $(1 - λ) (- λ^{3} + λ^{2})$ y $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + λ^{2})$

Paso 1.5.6.2

Expande $(1 - λ) (- λ^{3} + λ^{2})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.5.6.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = 1 (- λ^{3} + λ^{2}) - λ (- λ^{3} + λ^{2})$

Paso 1.5.6.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = 1 (- λ^{3}) + 1 λ^{2} - λ (- λ^{3} + λ^{2})$

Paso 1.5.6.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = 1 (- λ^{3}) + 1 λ^{2} - λ (- λ^{3}) - λ \cdot λ^{2}$

Paso 1.5.6.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.5.6.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.6.3.1.1

Multiplica $- λ^{3}$ por $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 1 λ^{2} - λ (- λ^{3}) - λ \cdot λ^{2}$

Paso 1.5.6.3.1.2

Multiplica $λ^{2}$ por $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + λ^{2} - λ (- λ^{3}) - λ \cdot λ^{2}$

Paso 1.5.6.3.1.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$p (λ) = - λ^{3} + λ^{2} - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ^{3} - λ \cdot λ^{2}$

Paso 1.5.6.3.1.4

Multiplica $λ$ por $λ^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.5.6.3.1.4.1

Mueve $λ^{3}$ .

$p (λ) = - λ^{3} + λ^{2} - 1 \cdot - 1 (λ^{3} λ) - λ \cdot λ^{2}$

Paso 1.5.6.3.1.4.2

Multiplica $λ^{3}$ por $λ$ .

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Paso 1.5.6.3.1.4.2.1

Eleva $λ$ a la potencia de $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + λ^{2} - 1 \cdot - 1 (λ^{3} λ^{1}) - λ \cdot λ^{2}$

Paso 1.5.6.3.1.4.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$p (λ) = - λ^{3} + λ^{2} - 1 \cdot - 1 λ^{3 + 1} - λ \cdot λ^{2}$

Paso 1.5.6.3.1.4.3

Suma $3$ y $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + λ^{2} - 1 \cdot - 1 λ^{4} - λ \cdot λ^{2}$

Paso 1.5.6.3.1.5

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + λ^{2} + 1 λ^{4} - λ \cdot λ^{2}$

Paso 1.5.6.3.1.6

Multiplica $λ^{4}$ por $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + λ^{2} + λ^{4} - λ \cdot λ^{2}$

Paso 1.5.6.3.1.7

Multiplica $λ$ por $λ^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.5.6.3.1.7.1

Mueve $λ^{2}$ .

$p (λ) = - λ^{3} + λ^{2} + λ^{4} - (λ^{2} λ)$

Paso 1.5.6.3.1.7.2

Multiplica $λ^{2}$ por $λ$ .

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Paso 1.5.6.3.1.7.2.1

Eleva $λ$ a la potencia de $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + λ^{2} + λ^{4} - (λ^{2} λ^{1})$

Paso 1.5.6.3.1.7.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$p (λ) = - λ^{3} + λ^{2} + λ^{4} - λ^{2 + 1}$

Paso 1.5.6.3.1.7.3

Suma $2$ y $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + λ^{2} + λ^{4} - λ^{3}$

Paso 1.5.6.3.2

Resta $λ^{3}$ de $- λ^{3}$ .

$p (λ) = - 2 λ^{3} + λ^{2} + λ^{4}$

Paso 1.5.6.4

Mueve $λ^{2}$ .

$p (λ) = - 2 λ^{3} + λ^{4} + λ^{2}$

Paso 1.5.6.5

Reordena $- 2 λ^{3}$ y $λ^{4}$ .

$p (λ) = λ^{4} - 2 λ^{3} + λ^{2}$

Paso 1.6

Establece el polinomio característico igual a $0$ para obtener los valores propios $λ$ .

$λ^{4} - 2 λ^{3} + λ^{2} = 0$

Paso 1.7

Resuelve $λ$

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Paso 1.7.1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.7.1.1

Factoriza $λ^{2}$ de $λ^{4} - 2 λ^{3} + λ^{2}$ .

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Paso 1.7.1.1.1

Factoriza $λ^{2}$ de $λ^{4}$ .

$λ^{2} λ^{2} - 2 λ^{3} + λ^{2} = 0$

Paso 1.7.1.1.2

Factoriza $λ^{2}$ de $- 2 λ^{3}$ .

$λ^{2} λ^{2} + λ^{2} (- 2 λ) + λ^{2} = 0$

Paso 1.7.1.1.3

Multiplica por $1$ .

$λ^{2} λ^{2} + λ^{2} (- 2 λ) + λ^{2} \cdot 1 = 0$

Paso 1.7.1.1.4

Factoriza $λ^{2}$ de $λ^{2} λ^{2} + λ^{2} (- 2 λ)$ .

$λ^{2} (λ^{2} - 2 λ) + λ^{2} \cdot 1 = 0$

Paso 1.7.1.1.5

Factoriza $λ^{2}$ de $λ^{2} (λ^{2} - 2 λ) + λ^{2} \cdot 1$ .

$λ^{2} (λ^{2} - 2 λ + 1) = 0$

Paso 1.7.1.2

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 1.7.1.2.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$λ^{2} (λ^{2} - 2 λ + 1^{2}) = 0$

Paso 1.7.1.2.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$2 λ = 2 \cdot λ \cdot 1$

Paso 1.7.1.2.3

Reescribe el polinomio.

$λ^{2} (λ^{2} - 2 \cdot λ \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Paso 1.7.1.2.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = λ$ y $b = 1$ .

$λ^{2} {(λ - 1)}^{2} = 0$

Paso 1.7.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$λ^{2} = 0$

${(λ - 1)}^{2} = 0$

Paso 1.7.3

Establece $λ^{2}$ igual a $0$ y resuelve $λ$ .

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Paso 1.7.3.1

Establece $λ^{2}$ igual a $0$ .

$λ^{2} = 0$

Paso 1.7.3.2

Resuelve $λ^{2} = 0$ en $λ$ .

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Paso 1.7.3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$λ = \pm \sqrt{0}$

Paso 1.7.3.2.2

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Paso 1.7.3.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$λ = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 1.7.3.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$λ = \pm 0$

Paso 1.7.3.2.2.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$λ = 0$

Paso 1.7.4

Establece ${(λ - 1)}^{2}$ igual a $0$ y resuelve $λ$ .

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Paso 1.7.4.1

Establece ${(λ - 1)}^{2}$ igual a $0$ .

${(λ - 1)}^{2} = 0$

Paso 1.7.4.2

Resuelve ${(λ - 1)}^{2} = 0$ en $λ$ .

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Paso 1.7.4.2.1

Establece $λ - 1$ igual a $0$ .

$λ - 1 = 0$

Paso 1.7.4.2.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$λ = 1$

Paso 1.7.5

La solución final comprende todos los valores que hacen $λ^{2} {(λ - 1)}^{2} = 0$ verdadera.

$λ = 0, 1$

Paso 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where $N$ is the null space and $I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{4})$

Paso 3

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 0$ .

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Paso 3.1

Sustituye los valores conocidos en la fórmula.

$N ([\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + 0 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Paso 3.2

Simplifica.

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Paso 3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.1

Multiplica $0$ por cada elemento de la matriz.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 3.2.1.2

Simplifica cada elemento de la matriz.

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Paso 3.2.1.2.1

Multiplica $0$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 3.2.1.2.2

Multiplica $0$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 3.2.1.2.3

Multiplica $0$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 3.2.1.2.4

Multiplica $0$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 3.2.1.2.5

Multiplica $0$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 3.2.1.2.6

Multiplica $0$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 3.2.1.2.7

Multiplica $0$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 3.2.1.2.8

Multiplica $0$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 3.2.1.2.9

Multiplica $0$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 3.2.1.2.10

Multiplica $0$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 3.2.1.2.11

Multiplica $0$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 3.2.1.2.12

Multiplica $0$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 3.2.1.2.13

Multiplica $0$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 3.2.1.2.14

Multiplica $0$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 3.2.1.2.15

Multiplica $0$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 3.2.1.2.16

Multiplica $0$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Paso 3.2.2

Adding any matrix to a null matrix is the matrix itself.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.2.1

Suma los elementos correspondientes.

$[\begin{array}{c} 1 + 0 & 0 + 0 & - 5 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

Paso 3.2.2.2

Simplify each element.

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Paso 3.2.2.2.1

Suma $1$ y $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 + 0 & - 5 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

Paso 3.2.2.2.2

Suma $0$ y $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

Paso 3.2.2.2.3

Suma $- 5$ y $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

Paso 3.2.2.2.4

Suma $0$ y $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

Paso 3.2.2.2.5

Suma $0$ y $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

Paso 3.2.2.2.6

Suma $1$ y $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

Paso 3.2.2.2.7

Suma $0$ y $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

Paso 3.2.2.2.8

Suma $0$ y $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

Paso 3.2.2.2.9

Suma $0$ y $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

Paso 3.2.2.2.10

Suma $0$ y $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

Paso 3.2.2.2.11

Suma $0$ y $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

Paso 3.2.2.2.12

Suma $1$ y $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

Paso 3.2.2.2.13

Suma $0$ y $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

Paso 3.2.2.2.14

Suma $0$ y $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

Paso 3.2.2.2.15

Suma $0$ y $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 + 0 \end{array}]$

Paso 3.2.2.2.16

Suma $0$ y $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Paso 3.3

Find the null space when $λ = 0$ .

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Paso 3.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Paso 3.3.2

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x_{1} - 5 x_{3} = 0$

$x_{2} = 0$

$x_{4} = 0$

$0 = 0$

Paso 3.3.3

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}] = [\begin{array}{c} 5 x_{3} \\ 0 \\ x_{3} \\ 0 \end{array}]$

Paso 3.3.4

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}] = x_{3} [\begin{array}{c} 5 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}]$

Paso 3.3.5

Write as a solution set.

${x_{3} [\begin{array}{c} 5 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}] | x_{3} \in R}$

Paso 3.3.6

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 5 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}]}$

Paso 4

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 1$ .

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Paso 4.1

Sustituye los valores conocidos en la fórmula.

$N ([\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] - [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Paso 4.2

Simplifica.

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Paso 4.2.1

Resta los elementos correspondientes.

$[\begin{array}{c} 1 - 1 & 0 - 0 & - 5 - 0 & 0 - 0 \\ 0 - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 & 0 - 0 \\ 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 1 & 1 - 0 \\ 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 1 \end{array}]$

Paso 4.2.2

Simplify each element.

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Paso 4.2.2.1

Resta $1$ de $1$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 - 0 & - 5 - 0 & 0 - 0 \\ 0 - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 & 0 - 0 \\ 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 1 & 1 - 0 \\ 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 1 \end{array}]$

Paso 4.2.2.2

Resta $0$ de $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & - 5 - 0 & 0 - 0 \\ 0 - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 & 0 - 0 \\ 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 1 & 1 - 0 \\ 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 1 \end{array}]$

Paso 4.2.2.3

Resta $0$ de $- 5$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & - 5 & 0 - 0 \\ 0 - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 & 0 - 0 \\ 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 1 & 1 - 0 \\ 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 1 \end{array}]$

Paso 4.2.2.4

Resta $0$ de $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 & 0 - 0 \\ 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 1 & 1 - 0 \\ 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 1 \end{array}]$

Paso 4.2.2.5

Resta $0$ de $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 1 - 1 & 0 - 0 & 0 - 0 \\ 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 1 & 1 - 0 \\ 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 1 \end{array}]$

Paso 4.2.2.6

Resta $1$ de $1$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 - 0 & 0 - 0 \\ 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 1 & 1 - 0 \\ 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 1 \end{array}]$

Paso 4.2.2.7

Resta $0$ de $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 - 0 \\ 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 1 & 1 - 0 \\ 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 1 \end{array}]$

Paso 4.2.2.8

Resta $0$ de $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 1 & 1 - 0 \\ 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 1 \end{array}]$

Paso 4.2.2.9

Resta $0$ de $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 - 0 & 0 - 1 & 1 - 0 \\ 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 1 \end{array}]$

Paso 4.2.2.10

Resta $0$ de $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 - 1 & 1 - 0 \\ 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 1 \end{array}]$

Paso 4.2.2.11

Resta $1$ de $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 1 - 0 \\ 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 1 \end{array}]$

Paso 4.2.2.12

Resta $0$ de $1$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 1 \\ 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 1 \end{array}]$

Paso 4.2.2.13

Resta $0$ de $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 1 \\ 0 & 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 1 \end{array}]$

Paso 4.2.2.14

Resta $0$ de $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 - 0 & 0 - 1 \end{array}]$

Paso 4.2.2.15

Resta $0$ de $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 - 1 \end{array}]$

Paso 4.2.2.16

Resta $1$ de $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & - 5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 \end{array}]$

Paso 4.3

Find the null space when $λ = 1$ .

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Paso 4.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & - 5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 & 0 \end{array}]$

Paso 4.3.2

Obtén la forma escalonada reducida por filas.

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Paso 4.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{5}$ to make the entry at $1, 3$ a $1$ .

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Paso 4.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{5}$ to make the entry at $1, 3$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{5} \cdot 0 & - \frac{1}{5} \cdot 0 & - \frac{1}{5} \cdot - 5 & - \frac{1}{5} \cdot 0 & - \frac{1}{5} \cdot 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 & 0 \end{array}]$

Paso 4.3.2.1.2

Simplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 & 0 \end{array}]$

Paso 4.3.2.2

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + R_{1}$ to make the entry at $3, 3$ a $0$ .

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Paso 4.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + R_{1}$ to make the entry at $3, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 & 1 + 0 & 0 + 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 & 0 \end{array}]$

Paso 4.3.2.2.2

Simplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 & 0 \end{array}]$

Paso 4.3.2.3

Swap $R_{3}$ with $R_{2}$ to put a nonzero entry at $2, 4$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 & 0 \end{array}]$

Paso 4.3.2.4

Perform the row operation $R_{4} = R_{4} + R_{2}$ to make the entry at $4, 4$ a $0$ .

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Paso 4.3.2.4.1

Perform the row operation $R_{4} = R_{4} + R_{2}$ to make the entry at $4, 4$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 & 0 + 0 \end{array}]$

Paso 4.3.2.4.2

Simplifica $R_{4}$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Paso 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x_{3} = 0$

$x_{4} = 0$

$0 = 0$

Paso 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}] = [\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

Paso 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}] = x_{1} [\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}] + x_{2} [\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

Paso 4.3.6

Write as a solution set.

${x_{1} [\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}] + x_{2} [\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}] | x_{1}, x_{2} \in R}$

Paso 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}]}$

Paso 5

The eigenspace of $A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} 5 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}]}$